数据结构三种形式的模板应用

模板一：单点修改与区间查询

在数据处理领域，单点修改与区间查询的需求经常出现。传统的解决方案可能需要逐个修改或遍历查询，这在大数据量下效率低下。通过离线处理和差分数组的技术，可以实现高效的在线操作。

差分数组的原理

差分数组是一种将区间操作转换为单点操作的巧妙方法。对于数组 a，其差分数组 d 满足关系式：

[ a_n = \sum_{i=1}^n d_i ]

同时，前缀和可以表示为：

[ \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i d_j = \sum_{i=1}^n (n - i + 1) d_i ]

因此，为了支持区间查询，我们需要维护两个树状数组：

c1 用于存储差分数组 d_i 的值。

c2 用于存储 d_i * i 的值。

代码实现

#include 
   
    
#include 
    
     
#include 
     
      
#include 
      
       
#include 
       
        
#include 
        
          using namespace std; long long c[200005][2]; int n, q; int lowbit(int x) { return x & (-x); } void add(int pos, int x, int f) { while (pos <= n) { c[pos][f] += x; pos += lowbit(pos); } } long long query(int pos, int f) { long long res = 0; while (pos > 0) { res += c[pos][f]; pos -= lowbit(pos); } return res; } long long ask(int pos) { long long sum = (pos + 1) * query(pos, 0) - query(pos, 1); return sum; } int main() { scanf("%d", &n); long long a = 0, b; for (int i = 1; i <= n; ++i) { scanf("%lld", &b); add(i, b - a, 0); add(i, (b - a) * i, 1); a = b; } scanf("%d", &q); for (int i = 1; i <= q; ++i) { int opt; scanf("%d", &opt); if (opt == 1) { int x, y, k; scanf("%d %d %d", &x, &y, &k); add(x, k, 0); add(y + 1, -k, 0); add(x, x * k, 1); add(y + 1, -(y + 1) * k, 1); } else if (opt == 2) { int x, y; scanf("%d %d", &x, &y); printf("%lld\n", ask(y) - ask(x - 1)); } } return 0; }

模板二：区间修改与单点查询

在某些场景下，我们需要对多个位置进行相同的区间修改，并快速查询某个点的最终值。这种情况可以通过前缀和和差分数组结合树状数组来实现。

树状数组的应用

树状数组（Fenwick Tree）在支持高效区间查询和更新操作方面表现优异。通过对差分数组进行离线处理，可以将区间修改转化为前缀和的形式，从而在在线查询时即可快速响应。

代码实现

#include 
   
    
#include 
    
     
#include 
     
      
#include 
      
       
#include 
       
        
using namespace std;
int c[500005];
int n, m;
int lowbit(int x) {
    return (-x) & x;
}
void add(int pos, int x) {
    while (pos <= n) {
        c[pos] += x;
        pos += lowbit(pos);
    }
}
int query(int pos) {
    int res = 0;
    while (pos > 0) {
        res += c[pos];
        pos -= lowbit(pos);
    }
    return res;
}
int main() {
    scanf("%d %d", &n, &m);
    int x = 0, y;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        scanf("%d", &y);
        add(i, y - x);
        x = y;
    }
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        int opt, x, y, k;
        scanf("%d", &opt);
        if (opt == 1) {
            scanf("%d %d %d", &x, &y, &k);
            add(x, k);
            add(y + 1, -k);
        } else if (opt == 2) {
            scanf("%d", &x);
            printf("%d\n", query(x));
        }
    }
    return 0;
}

模板三：区间修改与区间查询

对于需要对多个区间进行操作并查询某个区间的最终结果，差分数组和树状数组的组合提供了高效的解决方案。这种方法通过离线处理差分数组，将连续的区间操作转化为离散的点更新，从而在查询时快速计算所需结果。

优化思路

本文采用了差分数组的方法，将区间操作转化为前缀和的形式。通过维护两个树状数组，分别存储差分值和其加权和，实现了高效的区间查询和更新。这种方法在处理大量数据时表现优异，且代码结构清晰易懂。

总结

以上三种模板分别针对不同的操作需求，结合差分数组和树状数组技术，提供了高效且灵活的解决方案。选择具体的模板取决于实际的应用场景和数据处理需求。通过离线处理和差分数组技术，可以显著提升数据操作的效率，使系统在处理大规模数据时表现更为出色。

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