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树状数组(单点修改区间查询、区间修改单点查询、区间修改区间查询)
阅读量:274 次
发布时间:2019-03-01

本文共 2861 字,大约阅读时间需要 9 分钟。

数据结构三种形式的模板应用

模板一:单点修改与区间查询

在数据处理领域,单点修改与区间查询的需求经常出现。传统的解决方案可能需要逐个修改或遍历查询,这在大数据量下效率低下。通过离线处理和差分数组的技术,可以实现高效的在线操作。

差分数组的原理

差分数组是一种将区间操作转换为单点操作的巧妙方法。对于数组 a,其差分数组 d 满足关系式:

[ a_n = \sum_{i=1}^n d_i ]

同时,前缀和可以表示为:

[ \sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^i d_j = \sum_{i=1}^n (n - i + 1) d_i ]

因此,为了支持区间查询,我们需要维护两个树状数组:

  • c1 用于存储差分数组 d_i 的值。
  • c2 用于存储 d_i * i 的值。

代码实现

#include 
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std; long long c[200005][2]; int n, q; int lowbit(int x) { return x & (-x); } void add(int pos, int x, int f) { while (pos <= n) { c[pos][f] += x; pos += lowbit(pos); } } long long query(int pos, int f) { long long res = 0; while (pos > 0) { res += c[pos][f]; pos -= lowbit(pos); } return res; } long long ask(int pos) { long long sum = (pos + 1) * query(pos, 0) - query(pos, 1); return sum; } int main() { scanf("%d", &n); long long a = 0, b; for (int i = 1; i <= n; ++i) { scanf("%lld", &b); add(i, b - a, 0); add(i, (b - a) * i, 1); a = b; } scanf("%d", &q); for (int i = 1; i <= q; ++i) { int opt; scanf("%d", &opt); if (opt == 1) { int x, y, k; scanf("%d %d %d", &x, &y, &k); add(x, k, 0); add(y + 1, -k, 0); add(x, x * k, 1); add(y + 1, -(y + 1) * k, 1); } else if (opt == 2) { int x, y; scanf("%d %d", &x, &y); printf("%lld\n", ask(y) - ask(x - 1)); } } return 0; }

模板二:区间修改与单点查询

在某些场景下,我们需要对多个位置进行相同的区间修改,并快速查询某个点的最终值。这种情况可以通过前缀和和差分数组结合树状数组来实现。

树状数组的应用

树状数组(Fenwick Tree)在支持高效区间查询和更新操作方面表现优异。通过对差分数组进行离线处理,可以将区间修改转化为前缀和的形式,从而在在线查询时即可快速响应。

代码实现

#include 
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
int c[500005];
int n, m;
int lowbit(int x) {
return (-x) & x;
}
void add(int pos, int x) {
while (pos <= n) {
c[pos] += x;
pos += lowbit(pos);
}
}
int query(int pos) {
int res = 0;
while (pos > 0) {
res += c[pos];
pos -= lowbit(pos);
}
return res;
}
int main() {
scanf("%d %d", &n, &m);
int x = 0, y;
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
scanf("%d", &y);
add(i, y - x);
x = y;
}
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int opt, x, y, k;
scanf("%d", &opt);
if (opt == 1) {
scanf("%d %d %d", &x, &y, &k);
add(x, k);
add(y + 1, -k);
} else if (opt == 2) {
scanf("%d", &x);
printf("%d\n", query(x));
}
}
return 0;
}

模板三:区间修改与区间查询

对于需要对多个区间进行操作并查询某个区间的最终结果,差分数组和树状数组的组合提供了高效的解决方案。这种方法通过离线处理差分数组,将连续的区间操作转化为离散的点更新,从而在查询时快速计算所需结果。

优化思路

本文采用了差分数组的方法,将区间操作转化为前缀和的形式。通过维护两个树状数组,分别存储差分值和其加权和,实现了高效的区间查询和更新。这种方法在处理大量数据时表现优异,且代码结构清晰易懂。

总结

以上三种模板分别针对不同的操作需求,结合差分数组和树状数组技术,提供了高效且灵活的解决方案。选择具体的模板取决于实际的应用场景和数据处理需求。通过离线处理和差分数组技术,可以显著提升数据操作的效率,使系统在处理大规模数据时表现更为出色。

转载地址:http://jpio.baihongyu.com/

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